المصفوفات لها تطبيقات واسعة في الهندسة والفيزياء والاقتصاد والإحصاء وكذلك في مختلف فروع الرياضيات. البعض منهم فقط يستفيد من التمثيل لمجموعة من الأرقام في مصفوفة.
أصبحت المصفوفات أيضًا لها تطبيقات مهمة في رسومات الكمبيوتر ، حيث تم استخدامها لتمثيل التناوب والتحولات الأخرى للصور.
تعتبر المصفوفات الموجودة على حلقة متعددة الحدود مهمة في دراسة نظرية التحكم.
تستخدم الكيمياء المصفوفات بطرق مختلفة ، لا سيما منذ استخدام نظرية الكم لمناقشة الترابط الجزيئي والتحليل الطيفي.
تُستخدم المصفوفات في جميع أنحاء مجال التعلم الآلي في وصف الخوارزميات والعمليات مثل متغير بيانات الإدخال (X) عند تدريب خوارزمية.
فالمصفوفة عبارة عن محتوى على شكل جدول مستطيل يحتوي على أرقام أو رموز أو متغيرات مرتبة في صفوف وأعمدة وتستخدم لتمثيل بعض الخصائص المحددة لمتغير رياضي. فيما يلي مصفوفة تحتوي على عدد “m” من الصفوف وعدد “n” من الأعمدة.
يتم الإشارة إلى جميع العناصر الموجودة في المصفوفة المذكورة أعلاه بواسطة المتغير “a” بالإضافة إلى عددين صحيحين كرموز لها ، والتي تمثل عدد صفوف وأعمدة العنصر ، وبالتالي تحديد موضعه. على سبيل المثال ، يشير a11 إلى أن هذا العنصر يظهر في الصف الأول والعمود الأول.
لا تقتصر المصفوفات على الرياضيات فحسب ، بل تُستخدم أيضًا في التعلم الآلي. يمكّن التعلم الآلي من تعلم أشياء مختلفة من تجاربها دون إشراك الذكاء البشري.
يتم تضمين العديد من أنواع المصفوفات في الجبر الخطي جنبًا إلى جنب مع المتجهات. في هذه المقالة ، سنناقش الأنواع المختلفة من المصفوفات في الجبر الخطي ذات الصلة بالتعلم الآلي. وأهم تلك المصفوفات هي:
1- المصفوفة الصفرية : Null Matrix
إذا كانت جميع العناصر في المصفوفة صفرًا ، فإن المصفوفة تسمى مصفوفة صفرية أو مصفوفة فارغة. يُشار إليه عمومًا بالرمز 0.
2- مصفوفة الصف : Row Matrix
تُعرف المصفوفة التي تحتوي على صف واحد فقط بمصفوفة الصف. نظرًا لأن مصفوفة الصف مبنية على صف واحد ، فإن عدد الأعمدة لا يهم. وسيكون ترتيب مصفوفة الصف دائمًا مساويًا لـ 1xn حيث n هو عدد الأعمدة.
3- مصفوفة العمود : Column Matrix
تُعرف أي مصفوفة تحتوي على عمود واحد فقط بمصفوفة العمود. هنا ، لا يلعب عدد الصفوف أي دور مهم. سيكون ترتيب أي مصفوفة عمود هو m x 1 حيث m هو عدد الصفوف.
4- المصفوفة المستطيلة : Rectangular matrix
تُعرف المصفوفة المكونة من أعداد مختلفة من الصفوف والأعمدة بالمصفوفة المستطيلة. يُرمز إلى ترتيب المصفوفة المستطيلة بالرمز m x n حيث m هو عدد الصفوف و n هو عدد الأعمدة و m لا يساوي n.
A= [ ai j ] m x n is a rectangular matrix if m ≠ n.
5- المصفوفة المربعة : Square matrix
إذا كان عدد الصفوف في المصفوفة يساوي عدد الأعمدة ، فإن المصفوفة تُعرف بالمصفوفة المربعة. يأتي هذا من منطق أن المربع متساوي في جميع جوانبه. إذن ، في مصفوفة مربعة m x n ، فان m يساوي n.
A = [ ai j ] m x n is a square matrix if m = n
6- المصفوفة المثلثة : Triangular Matrix
إذا كانت جميع العناصر الموجودة أعلى أو أسفل القطر الرئيسي في مصفوفة مربعة تساوي صفرًا ، فإن المصفوفة تُعرف بالمصفوفة المثلثة. هناك نوعان من المصفوفات المثلثية ، وهما المصفوفة المثلثية العليا والمصفوفة المثلثية السفلى.
7- المصفوفة العمودية : Vertical matrix
في المصفوفة ، إذا كان عدد الصفوف أكبر من عدد الأعمدة ، فإنها تُعرف بالمصفوفة العمودية. وهكذا ، في المصفوفة العمودية من الرتبة m x n وان m> n ، حيث m هو عدد الصفوف و n هو عدد الأعمدة.
8- المصفوفة الافقية : Horizontal Matrix
على غرار المصفوفة العمودية ، المصفوفة الأفقية هي المصفوفة التي يكون فيها عدد الأعمدة أكبر من عدد الصفوف. وهكذا في مصفوفة أفقية من الرتبة m x n فان ، m <n ، حيث m هو عدد الصفوف و n هو عدد الأعمدة.
9- المصفوفة القطرية : Diagonal Matrix
في أي مصفوفة ، إذا كانت جميع العناصر ، باستثناء عناصر القطر الرئيسي ، تساوي صفرًا ، فإن المصفوفة تُعرف باسم المصفوفة القطرية. اذ تعد مزيج من كل من المصفوفات المثلثية العليا والسفلى. لا يشترط أن تكون المصفوفة القطرية مصفوفة مربعة.
10- المصفوفة المتماثلة : Symmetric matrix
تُعرف المصفوفة المربعة التي تساوي مصفوفة مبدلتها (منقولها او مدورها) بالمصفوفة المتماثلة. وبالتالي ، بالنسبة للمصفوفة A = [ai j] m x n ، تكون متماثلة إذا كانت ai j = aj i ، لجميع قيم i و j. فيما يلي مثال على مصفوفة متماثلة 3 × 3.
11- مصفوفة الانحراف المتماثلة (المتخالفة) : Skew-symmetric matrix (Reverse Matrix)
هي مصفوفة مربعة تساوي سالب مصفوفة مبدلتها (مدورها او منقولها). تكون فيها جميع عناصر القطر الرئيسي مساوية للصفر، من أجل فهم مصفوفة انحراف متماثل بشكل أفضل. هنا ، درسنا المصفوفة A. الصيغة الأساسية التي تمثل مصفوفة الانحراف المتماثل هي كما يلي.
12- مصفوفة الوحدة : Identity Matrix
في المصفوفة المربعة ، إذا كانت جميع عناصر القطر الرئيسي تساوي 1 وجميع العناصر الأخرى تساوي 0 ، فإن المصفوفة تُعرف بمصفوفة الوحدة. ويمكن كتابة مصفوفة الوحدة من الرتبة n بالشكل In. مصفوفة الوحدةلا تغير أي متجه إذا تم ضربه بها.
13- مصفوفة العددية : Scalar Matrix
تشبه المصفوفة العددية المصفوفة القطريةبحيث تكون جميع العناصر الموجودة أعلى وأسفل القطر الرئيسي مساوية لـ 0. والفرق الوحيد بين المصفوفة العددية والمصفوفة القطرية هو أنه في المصفوفة العددية ، فإن جميع عناصر يجب أن يكون القطر الرئيسي متساويًا.
14- مبدلة المصفوفة : Transpose matrix
مبدلة (منقول او مدور) المصفوفة هي مصفوفة أخرى تم فيها تبديل مواضع عناصر الصفوف والأعمدة ، أي تحولت الصفوف إلى أعمدة والأعمدة إلى صفوف.
ضع في اعتبارك المثال الوارد أدناه حيث A عبارة عن مصفوفة 3 × 3 و At هي مصفوفة مبدلة (مدور) المصفوفة A. في كلا المصفوفتين ، يظل القطر الرئيسي كما هو.
15- المصفوفة المفردة : Singular Matrix
تسمى المصفوفة المربعة التي ليس لها معكوس مصفوفة مفردة. اي ان قيمى المحدد للمصفوفة يساوي صفر .
16- المصفوفة الصماء : Idempotent Matrix
يقال أن المصفوفة تكون صماءإذا كانت المصفوفة A = A2. اي لاتتغير قيم المصفوفة اذا ضربت بنفسها.
17- المصفوفة اللاارادية : Involutory Matrix
المصفوفة اللاإرادية هي نوع خاص من المصفوفات ، يمكن القول إذا كان مربع المصفوفة المربعة A من الرتبة n يساوي مصفوفة الوحدة من نفس الترتيب ، فإن A هي مصفوفة لا إرادية. جميع المصفوفات اللاإرادية من الرتبة n هي جذور تربيعية لمصفوفة الوحدة من الرتبة n اي ان A2 = I وان المصفوفة اللاإرادية هي معكوس المصفوفة الخاص بها. بعض أمثلة المصفوفات اللاإرادية هي:
18- المصفوفة المتعامدة : Orthogonal Matrix
تكون المصفوفة متعامدة إذا كانت تحقق الشرط ،A.At = I ، اي انها مصفوفة الوحدة .
19- المصفوفة المنتظمة : Regular Matrix
تُعرف المصفوفة غير المفردة أيضًا بالمصفوفة المنتظمة. المصفوفة المنتظمة لها معكوسها الخاص. بمعنى آخر ، إذا كانت المصفوفة المربعة تحتوي على محدد غير صفري ، فهذا يعني أنها مصفوفة منتظمة/ غير مفردة.
20- المصفوفة الوحيدة : Singleton Matrix
تُعرف المصفوفة التي تحتوي على عنصر واحد فقط باسم المصفوفة الوحيدة. في هذا النوع من المصفوفة ، يساوي عدد الأعمدة وعدد الصفوف 1.