يقال عن النظام (V) انهُ فضاء متجهات (Vectors Spaces) على مجموعة الاعداد الحقيقية (R) ، إذا كان مجموعة غير خالية مزود بعمليتين احداهما عملية الجمع والاخرى عملية الضرب بعدد حقيقي بحيث تحقق هاتين العمليتين الخواص التالية:
مثال (1):إذا كان V فضاء متجهات، فأثبت ان K0=0 ، وذلك لكل عدد حقيقي مثل K اذ ان V فضاء متجهات فأنهُ يحقق الخواص العشرة ومنها ان 0 متجه محايد جمعي.
مثال (1) : إذا كان V فضاء متجهات، فأثبت ان K0=0 ، وذلك لكل عدد حقيقي مثل K اذ ان V فضاء متجهات فأنهُ يحقق الخواص العشرة ومنها ان 0 متجه محايد جمعي.
الحل :
الفضاءات الجزئية : Partial Spaces
نقول أن W فضاء جزئي من فضاء المتجهات V إذا كان:
1- المتجه الصفري ينتمي الى W ، اي ان o ∈ W، او بشكل اخر W غير خالية W≠∅.
2- إذا كان u,v ∈ W ، فإن : (u+v)∈W (الاغلاق الجمعي).
3- إذا كان v∈W و α∈R فإن : (αv)∈W (الاغلاق الضربي بعدد).
مثال (2) : إذا كانت W={(a,b,c)∈R3:a-b+2c=0} ، فأثبت ان W فضاء جزئي من R3. اي يجب ان نثبت الاتي :
البرهان :
مثال (3) : إذا كانت W={A∈M(n×n) ∶A=At } ، فأثبت ان W فضاء جزئي من M(n×n)؟
الحل :
مثال (4) : إذا كانت W={aX2+bX+c∈P2 (X):a+b+c=0} ، فأثبت ان W فضاء جزئي من P2 (X).
الحل :
مثال (5) : اثبت ان W لا تمثل فضاء جزئي من R3 ، حيث ان W={(a,b)∈R2:a+2b=4}
مثال (6) : اثبت ان W لا تمثل فضاء جزئي من R2 ، حيث ان W={(a,b)∈R2:|ab|<0 }؟
الحل: