اولاً: جمع وطرح المصفوفات: (Additive and Subtraction of Matrices)

لجمع وطرح المصفوفات يجب ان تكون من نفس الدرجة وعند الجمع او الطرح نقوم بجمع او طرح كل عنصر مع نظيره في الموقع من المصفوفة المقابلة. اي إذا كانت المصفوفات A,B,C متوافقة بالنسبة للجمع والطرح ( يقصد بالمتوافقة ان تكون من نفس الرتبة اي عدد الصفوف وعدد الاعمدة متطابقة في جميع المصفوفات) فإنهُ ينطبق عليها :

  • خاصية التبديل ، اي ان: A+B=B+A .
  • ( قانون جمع الحدود الجبرية ) ، اي ان :(A+B)+C=A+(B+C).
  • خاصية التوزيع (A+B)*k=Ak+Bk=k(A+B) ( حيث k مقدار عددي (ثابت) ).
  • توجد مصفوفة مثل D بحيث يكون A+B=D.
  • هذهِ القوانين تنتج من قوانين الجبر الابتدائي التي تحكم جمع الاعداد وجمع متعددات الحدود ، كما وأن هذهِ القوانين تبين ان خواص جمع المصفوفات المتوافقة مطابقة مع خواص جمع عناصر هذهِ المصفوفات.

ثانياً : ضرب المصفوفات Multiplying Matrices

اذا كان لدينا مصفوفتان مثل A و B فإنه لإيجاد حاصل ضرب AB يجب ان يكون عدد أعمدة A مساوي الى عدد صفوف B اي ان :


A(m×n) B(n×L) =C(m×L)

مثال : اذا كانت A و B مصفوفتان كالاتي :

فأوجد AB وكذلك اوجد BA؟
الحل :
لا يمكن الحصول على AB لان ابعاد المصفوفتين غير متوافق : A(3×3) B(2×3)
يمكن الحصول على BA لأنه : B(2×3) A(3×3) = C(2×3)

ضرب المصفوفات BA

عملية ضرب مصفوفتان متوافقة من حيث الرتبة
  • ملاحظة :عند ضرب المصفوفة بعدد نضرب العدد في كل عنصر من عناصر المصفوفة .

مثال :

جمع وطرح مصفوفتان
  • ملاحظة:  ضرب المصفوفات ليس ابدالي إلا في حالات خاصة أي أن AB ≠BA:

مثال :

الحل :

حاصل ضرب مصفوفة صف ومصفوفة عمود وكلاً من الصف والعمود متساوي
  • ملاحظة : يجب ملاحظة ان هذه العملية هي صف في عمود : يضرب كل عنصر من الصف بالعنصر المقابل لهُ من العمود وتجمع حواصل الضرب.

حيث ان: A=[aij ] مصفوفة من الدرجة m×p ، وان B=[bij ] من الدرجة p×n اي بمعنى A مكونة من m من الصفوف وان B مكونة من n من الاعمدة ، لتكوين C=A×B فإن كل صف من A يضرب مرة ومرة واحدة فقط في كل عمود من اعمدة المصفوفة B ، وان العنصر cij من المصفوفة C هو حاصل ضرب الصف ذو الرقم i من A بالعمود ذو الرقم j من B.

مثال: جد حاصل الضرب للمصفوفتين الاتيتين :

مثال : جد ناتج مايلي :

بعض الخصائص المهمة للعمليات الحسابية على المصفوفات:

خصائص مهمة للعمليات الحسابية على المصفوفات

مثال : جد A + B و 3A للمصفوفتين

الحل :

مُبدّلة المصفوفة Transpose of Matrix

إذا كان لدينا مصفوفة A(m×n) فإن مبدل المصفوفة هو ( Atnxm) أي نجعل كل صف من المصفوفة A عمود في المصفوفة At او العكس كل عمود من المصفوفة A نجعله صف من At ( صف اول يصبح عمود اول وصف ثاني يصبح عمود ثاني وهكذا … ).

مثال :

الحل :

  • خصائص مبدل المصفوفة (Properties of transpose matrix)  

امثلة متنوعة

الحل :

لاحظ ان

اذاً نستنتج مما ورد أعلاه ان العلاقات التي تعطي An،  كالاتي :

Similar Posts

اترك تعليقاً