
مفهوم التوزيع الاحتمالي له علاقة وثيقة بمفهوم المتغير العشوائي، اذ يمكن للمتغيرات العشوائية أن تأخذ توزيعات احتمالية مختلفة، حيث يقوم التوزيع الاحتمالي بوصف الظواهر التي تحتوي متغيرات عشوائية.
ماهو مفهوم المتغير العشوائي Random Variable؟
المتغير العشوائي والتوزيعات الاحتمالية بأنواعها التي سنتعرف عليها في هذه المقالة تعتبر مهمة جدا للحصول على القيم العددية لدراسة علمية محددة، فإن أهم ميزات المتغير العشوائي انه قابل للعد، فيما يلي سنوضح ذلك.
تعريف المتغير العشوائي Definition of Random Variable:
يعرف المتغير العشوائي بأنه متغير مجهول القيمة العددية ، وتستخدم هذه المتغيرات بشكل كبير في كل من علم الإحصاء وعلم الاحتمالات.
يأخذ المتغير العشوائي غالبا قيم مختلفة ضمن مجال مستمر، حيث يعتبر هذا المتغير قابل للقياس، حيث يرمز لقيمه بأحرف معينة، إلا أنه غالبا ما يكون أرقام وقيم عددية مختلفة.
وتعد المتغيرات العشوائية مختلفة تماما عن المتغيرات الجبرية Algebra Variable، التي يمكن حسابها من المعادلات الرياضية بشكل مباشر.
مما سبق فان المتغيرات العشوائية تستخدم عند دراسة الظواهر العشوائية وكمثال بسيط على الظواهر العشوائية” رمي حجر النرد” حيث النتائج العددية لهذه الظواهر يعبر عنها بالمتغير العشوائي. والعشوائية يقصد بها جميع الظواهر التي لايتم التحكم بها من قبل الانسان او الآلة اي بدون محددات مسيطر عليها. ومثال ذلك صندوق يحتوي على كرات ملونة فان اختيار الكرات يتم بشكل عشوائي اي بدون تدخل متعمد فيتم رفع الكرات عشوائياً فتخضع بالتالي للقوانين الاحتمالية في ظهور كرات ذات اللون الاحمر (على سبيل المثال) بعدد مرات من السحبات المحددة فما هو احتمال ان تظهر الكرة الحمراء من مجموع الكرات المتبقية بعدد معين من السحبات.
انواع المتغير العشوائي Type Of Random variable:
يوجد نوعان من المتغيرات العشوائية هي :
أولاً: المتغير العشوائي المتقطع (المنفصل ) Discreet Random Variable
يكون المتغير العشوائي X متغيرا عشوائياً متقطعا إذا كانت مجموعة القيم الممكنـة لـه (S(X مجموعة متقطعة (أو قابلة للعد). المتغير العشوائي المتقطع يمثل عدد كبير من القيم، قد تكون هذه القيم غير منتهية، ومن الممكن أن تكون منتهية، إلا أنها قابلة للعد. هذه القيمة تكون مختلفة عن بعضها البعض، ويرمز للمتغير العشوائي X في مجموعة المتغيرات العشوائية بالصيغة الاحتمالية بالشكل الاتي :
R(X)= {X1, X2, X3,…..,Xn}
ملاحظات:
* إن المتغير العشوائي X يعطي قيمة حقيقية وحيدة لكل عنصر من عناصر فضاء العينـة S.
* إن المتغير العشوائي X هو تطبيق مجاله فضاء العينة S ومجاله المقابل هـو مجموعـة الأعداد الحقيقية (Real Random (RR .

* اذا كانت S∈w نقطة عينة فإن صورة w تحت تأثير المتغير العشوائي X هـي (w)X وهي قيمة حقيقية، أي أن

من الأمثلة عن المتغير العشوائي المتقطع (المنفصل) ، والتي غالبا ماتكون هذه الظواهر قابلة للعد :
1- حساب عدد الذكور في كل أسرة ضمن منطقة معينة.
2- حساب عدد الأهداف التي قام بتسديدها أحد لاعبي فريق كرة السلة.
3- حساب عدد الزبائن أو العملاء اللذين تلبي حاجاتهم محطة تعبئة الوقود.
4- حساب عدد الحيوانات القطط التي تقوم الأسر بتربيتها.
5- حساب عدد الاغنام التي يتم تربيتها في احد المزارع.
6- حساب عدد المصابيح الكهربائية التي يتم انتاجها خلال زمن معين في احد المصانع.
وهناك امثلة لاحصر لها تصف المتغير العشوائي المتقطع .
مثال تطبيقي (1) :
لتكن التجربة هي قذف قطعة نقود مرتين متتاليتين بـشكل مـستقل. ,يُعرّف المتغيـر العشوائي X على أنه عدد الصور الظاهرة في الرميتين. المطلوب :
1.عبر عن المتغير العشوائي X . كدالة
2 .أوجد مجموعة القيم الممكنة للمتغير العشوائي X .
3 .عبر عن الحوادث التالية باستخدام المتغير العشوائي: {(T,T)}, {(H,T), (T,H)}, {(H,H)}, {(H,H), (H,T), (T,H)} .
4 .عبر عن الحوادث التالية باستخدام نقاط العينة: {X=0}, {X=1}, {X=2}, {X<1}, {X≤1}, {X>5} .
5 .أوجد الاحتمالات التالية: P(X=0), P(X=1), P(X=2), P(X<1), P(X≤1), P(X>5).
لتوضيح الاسئلة السابقة
اولاً: فضاء العينة لهذه التجربة (عدد نتائج التجربة) هي : S = {(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} اذ يشير H الى رمز الصورة في قطعة النقود و يشير T الى رمز الكتابة .
عدد الصور : X في كلا الرميتين . اي إن المتغير العشوائي X يعطي كل عنصر من عناصر قيمة حقيقية وحيدة في RR : كما يلي :
X(H,H) = 2
X(H,T) = 1
X(T,H) = 1
X(T,T) = 0
كما يمكن التعبير عن المتغير العشوائي X كما في الجدول الاتي
ثانياً : مجموعة القيم الممكنة للمتغير العشوائي X : هي
X(S)={x∈R: X(w)=x, w∈S} = {0, 1, 2}
ثالثاً: التعبير عن الحوادث باستخدام المتغير العشوائي:
{(T,T)} = { X = 0 }={صورة ظهور عدم }
{(H,T), (T,H)} = { X = 1 }={فقط واحدة صورة ظهور }
{(H,H)} = { X = 2 }={ صورتين ظهور}
{(H,H), (H,T), (T,H)} = { X ≥ 1 }={الأقل على واحدة صورة ظهور }
رابعاً : التعبير عن الحوادث باستخدام نقاط العينة:
خامساً : ايجاد الاحتمالات: بما ان التجربة متساوية الفرص، أي أن:
P({(H,H)}) = P({(H,T)}) = P({(T,H)}) = P({(T,T)}) = 1/4 = 0.25
وباستخدام هذه الحقيقة فإننا نوجد الاحتمالات المطلوبة كالاتي

مثال تطبيقي(2) :
لدى أسرة ثلاثة أطفال، وليكن X المتغير الدال على عدد الذكور لدى هذه الأسرة. عندئذ تعريف فضاء العيِّنة هو (أي عدد نتائج هذه التجربة) هو: S=8
ويكون فضاء العينة (أي مجموعة نتائج هذه التجربة):حيث رُمِزَ للأنثى بـ G وللذكر بـ B كما يلي:
S = {GGG,GGB,GBG,BGG,GBB,BGB,BBG,BBB}
وتكون مجموعة قيم المتغير العشوائي X (ظهور ذكر في الاسرةمن مجموع ثلاث اطفال)كالاتي : RX={0,1,2,3}
وإذا كانت الحادثة [X=2] مثلاً، المتغير العشوائي X=2
X=2] = {GBB,BGB,BBG}]
ونلاحظ أن المتغير يأخذ، عند كل نقطة عينة من النقاط الثماني التي يتضمنها فضاء العينة لهذه التجربة، قيمة واحدة فقط من هذه القيم الممكنة والجدول التالي يبين ذلك:
ونلاحظ أن X يمثل دالة عددية معرَّفة على فضاء العينة S اذ ان
X: S →{0,1,2,3}
X(GGG) = 0 ; X(GGB) = 1; …. ; X(BBG) = 2 ; X(BBB) = 3
مثال تطبيق (3):
لتكن التجربة هي قذف قطعة نقود غير متزنة مرتين متتاليتين بشكل مستقل. ولنفـرض أن هـذه
العملة غير متزنة بحيث أن P(H)=(1/3) وان P(T)=(2/3) ، ولنعرف المتغير العشوائي X على أنه عدد الصور الظاهرة في الرميتين. اوجد مايلي :
1. أوجد الاحتمالات التالية ثم لخصها في جدول:
P(X=0) , P(X=1) , P(X=2)
2. باستخدام الفقرة 1(أوجد الاحتمالات التالية) :.
لمناقشة الاسئلة اعلاه سيتم توضيح الاتي :
اولاً: فضاء العينة لهذه التجربة (عدد نتائج التجربة) هي : S = {(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)}
مجموعة القيم الممكنة المتغير العشوائي X هي: {0,1,2 }= {S(X
الحل يتوضح من خلال الجدول الاتي :
ويمكن تنظيم هذه المعلومات في جدول وهذا الجدول يمثل ما يسمى بدالة الكتلة الاحتمالية للمتغير
العشوائي المتقطع X:
من جدول دالة الكتلة الاحتمالية للمتغير العشوائي X اعلاه نستطيع حساب جميع احتمالات الحوادث المعبر عنها باستخدام المتغير العشوائي X : وكالاتي :

مجموع القيم الاحتمالية لظهور المتغير العشوائي X يجب ان تساوي (1)واحد الصحيح (الاحتمال يتراوح قيمته بين الصفر والواحد الصحيح)
المصادر الاجنبية:
- Fristedt, Bert; Gray, Lawrence (1996). A modern approach to probability theory. Boston: Birkhäuser. ISBN 3-7643-3807-5.
- Kallenberg, O., Random Measures, 4th edition. Academic Press, New York, London; Akademie-Verlag, Berlin (1986). MR0854102 ISBN 0-12-394960-2
- Kallenberg, O., Foundations of Modern Probability, 2nd edition. Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg (2001). ISBN 0-387-95313-2
- Papoulis, Athanasios 1965 Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. McGraw–Hill Kogakusha, Tokyo, 9th edition, ISBN 0-07-119981-0.
- Anderson, Sweeney, Williams, Freeman, Shoesmith. Statistics for Business and Economics – 2nd Edition. Cengage Learning (2010). ISBN 978-1-4080-1810-1