
في الرياضيات، منظومة المعادلات الخطية ( System of linear equations) هي مجموعة من المعادلات الخطية تضم نفس المجموعة من المتغيرات، وتكمن اهمية منظومة المعادلات الخطية في موضوع الجبر الخطي ، ويمكن تعريف المعادلة الخطية هي التساوي بين عبارتين وتكون هذه المعادلة اما صحيحة لقيم معينة للمجهول وخاطئة لقيم أخرى، على سبيل المثال المعادلة 2x+1=7 تكون صحيحة عندما تكون x=3 وتكون المعادلة خاطئة عندما x لايساوي 3. فنقول حل المعادلة عند التعويض بقيمة x تساوي 3 تصبح المعادلة 2(3)+1=7 وهذا صحيح وأصبح الطرفان متساويان.
ويمكن تمثيل معادلة الخط المستقيم من المتغيرين x , y بالصيغة:

ويمكن كتابة المعادلات الخطية التي تحتوي على n من المتغيرات كالتالي:

ويوجد نوعين من المعادلات :
* المعادلات الخطية (وهي المعادلات التي تحتوي على متغيرات من الدرجة الاولى).
* المعادلات غير الخطية (وهي المعادلات التي تحتوي على متغيرات بدرجات اعلى ، جذور، دوال مثلثية، ضرب متغيرات مع بعضها البعض او دوال اسية).
الشكل الهندسي للمعادلات الخطية بمتغيرين هما x و y كالتالي:

الشكل الهندسي للمعادلتين اعلاه هو الخط المستقيم L1 و L2 كل خط مستقيم على حدة اما اذا كانت النقطة (x,y) تقع على المستقيم اذا كانت x و y تحقق معادلة المستقيم فتصبح حلول المنظومة الخطي هو تقابل المستقيمين.
ويوجد ثلاث احتمالات للحلول هي :
1) المستقيمان متوازيان ، لا يوجد نقط تقاطع وبالتالي ليس للنظام الخطي حل كما في المخطط (a).
2) المستقيمان يتقاطعان بنقطة ، ذلك يعني ان النظام الخطي له حل واحد (وحيد) فقط كما في المخطط (b).
3) المستقيمان متطابقان وبالتالي يوجد عدد غير محدود من الحلول كما في المخطط (c).

ملاحظة : نستنتج ان النظام الخطي اما ليس له حل (النظام غير المتسق Inconsistence System) او له حل وحيد (النظام المتسق Consistence System) او له عدد لانهائي من الحلول.
اما المجموعة المنتهية التي تتكون من m من المعادلات الخطية تحتوي على n من المتغيرات (xn،…،، x2 ، x1 ) تسمى بنظام(منظومة) المعادلات الخطية. وكذلك تسمي بالنظام الخطي. ويمكن كتابة النظام الخطي الذي يتكون من m من المعادلات ويحتوى على n من المتغيرات كالتالي:

كما ويمكن كتابة منظومة المعادلات الخطية كمتجهات أو كمصفوفات. كالاتي:


طرائق حل منظومة المعادلات الخطية: Methods for solving a system of linear equations
هنالك عدة طرائق لحل منظومة المعادلات الخطية وهي :
1) طريقة جاوس – جوردان. Gauss Jordan methods
2) حل الانظمة باستخدام معكوس مصفوفة المعاملات Systems solution using inverse coefficient matrix
3) قاعدة كرامر. Cramer Base
أولاً : طريقة جاوس – جوردان. Gauss Jordan methods
اذا كان لدينا نظام معادلات خطية يراد ايجاد الحل لها بطريقة جاوس – جوردان نتبع ما يلي:
1) نضع المصفوفة الموسعة والمكونة من معاملات المتغيرات والنواتج كعمود اخير.
2) نختزل مصفوفة المعاملات على صيغة الدرجة الصفية المختزلة (r.r.e.f) لو كان المطلوب الحل بطريقة جاوس – جوردان.
3) نحول المصفوفة المختزلة الى معادلات مرة اخرى (نظام مكافىء) ، ثم نجد حل النظام.
كما تم ذكره سابقاً ان انواع الحلول: (Types of solutions) هي :
* الحل الوحيد.
* العدد اللانهائي من الحلول.
* ليس للنظام حل.
مثال 1 : حل المنظومة بطريقة جاوس-جوردان:

الحل :
كتابة المنظومة على شكل المصفوفة الموسعة وهي :

يتم تحويل المصفوفة اعلاه الى صيغة الدرجة الصفية المختزلة (r.r.e.f) باستعمال العمليات الاولية الصفية :


من خلال المصفوفة الاخيرة نستطيع ايجاد قيم جذور منظومة المعادلات (الحل) وهي :

مثال (2) : حل المنظومة بطريقة جاوس-جوردان :

الحل : باستعمال نفس الخطوات السابقة في مثال (1) نجد ان :

نلاحظ ان جميع عناصر الصف الاخير في المصفوفة اعلاه عبارة عن اصفار ماعدا القيمة الى جهة اليمين عبارة عن (1-) وهذا لايمكن بالتالي نستنتج ان منظومة المعادلات الخطية لايوجد لها حل No Solution اي انها غير متسقة (inconsistent).
مثال (3) : حل المنظومة بطريقة جاوس-جوردان :

الحل : بتتبع نفس الخطوات في الامثلة السابقة فان الحل يكون كالاتي:


بالوصول الى صيغة الدرجة الصفية المختزلة (r.r.e.f) فان حل المنظومة هو :

مثال (4) : حل منظومة المعادلات الخطية الاتية بطريقة جاوس جوردن:

كما في الامثلة السابقة فان خطوات الحل هي :

من خلال المصفوفة اعلاه نلاحظ ان عناصر الصف الاخير عبارة عن اصفار وكذلك العدد الى يمين الصف ايضا قيمته صفرا نستنتج بالتالي يمكن ايجاد الحل لهذا المنظومة كالاتي :


نظرًا لعدم وجود قيمة محددة لـ z ، يمكن اختياره بشكل غير محدد . هذا يعني أن هناك عددًا لا نهائيًا من الحلول لهذا النظام. يمكننا تمثيل جميع الحلول باستخدام المعامل t على النحو التالي:

أي قيمة للمعامل t تعطينا حلاً للنظام. على سبيل المثال،

ملاحظة : في حالة ان الدرجة الصفية بعد الاختزال تكون احد المعادلات بصيغة (0 0 0=1) ، اي ان ليس للنظام حل.
ملاحظة : مما سبق يمكن ان نستنتج بعد الاختزال
1-اذا كان عدد المعادلات يساوي عدد المجاهيل يكون للنظام حل وحيد.
2-اذا كان عدد المعادلات اقل من عدد المجاهيل{(0 | 0 0 0 ) }يكون للنظام عدد لا نهائي من الحلول وهذه الانظمة يسمى كل منها نظام متسق (او متآلف).
3-اذا كانت احدى المعادلات {(1| 0 0 0 ) } ، فأن النظام ليس لهُ حل ويسمى نظام غير متسق (او غير متآلف).
ثانياً: حل الانظمة باستخدام معكوس مصفوفة المعاملات : Systems solution using inverse coefficient matrix
منظومة المعادلات الخطية لا تحل بطريقة المعكوس الا اذا كانت مربعة ويكون لمصفوفة المعاملات معكوس(Inverse) اي يكون الحل بها حل وحيد ، اما اذا كانت مربعة وليس لمصفوفة المعاملات معكوس فلا يمكن الحل بهذه الطريقة ويكون للنظام اما عدد لا نهائي من الحلول او ليس لهُ حل ولا يمكن معرفة ذلك الا بالعودة الى طريقة جاوس جوردان.
مثال (5) : حل منظومة المعادلات بطريقة معكوس مصفوفة المعاملات:
اكتب النظام الاتي على الصيغة AX=B ، ثم اوجد A(-1) حيث A مصفوفة المعاملات و اوجد مجموعة حل النظام باستخدام A(-1) ان وجد.

الحل : بتحويل منظومة المعادلات الى الصيغة العامة General Form وتتمثل بـ AX=B وكالاتي:


مثال (2) : باستخدام طريقة المعكوس بين ان نظام المعادلات ليس لهُ حل وحيد.

الحل : عند استعمال طريقة معكوس المصفوفة يجب اولاً ايجاد قيمة المحدد |A| لمصفوفة المعاملات باستعمال احد طرائق ايجاد المحدد وباستعمال طريق سايروس (الشعاعية) نجد ان :

حيث ان A|=0| اي ان معكوس المصوفة A(-1) غير موجود وعليه النظام ليس لهُ حل وحيد وانما قد يكون لهُ عدد لا نهائي من الحلول او ليس لهُ حل ، ولمعرفة ذلك نحل بطريقة جاوس جوردان.
مثال (3): حل منظومة المعادلات الخطية باستعمال طريقة معكوس مصفوفة المعاملات :

الحل : بنفس الطريقة السابقة يتم تحويل المنظومة الى الصيغة العامة وكالاتي :

نحتاج لحساب A-1

باستعمال صيغة حساب قيمة X من خلال العلاقة


الحل هو :

مثال (4) : حل معادلات المصفوفة باستعمال طريقة معكوس معاملات المصفوفة

الحل : لمصفوفة المعاملات A نجد قيمة A-1 بالتالي يجب ايجاد قيمة المحدد اولاً |A| من خلال طريقة المحيددات Minors وكالاتي :


بما ان قيمة المحدد لايساوي صفر نجد قيمة المعكوس A-1

قيمة Adj(A) نجدها كالاتي :








ثالثاً : طريقة قاعدة كرامر : Cramer Base
هي طريقة أخرى لحل نظام المعادلات , ويشترط ان تكون مصفوفة المعاملات مربعة ويكون لها معكوس أي ان A| ≠0| والحل بهذه الطريقة يعطي حل وحيد . اما اذا كان A|=0| فلا يمكن الحل بها ولا بطريقة المعكوس وانما تحل بطريقة جاوس – جوردن ويكون للنظام عدد لانهائي من الحلول او ليس له حل .
مثال (1) : استخدم قاعدة كرامر لحل النظام

الحل:



مثال (2) : استخدم قاعدة كرامر لحساب X4 التي تحقق النظام التالي :

الحل :



مثال (3) : استخدم قاعدة كرامر لإيجاد في النظام

الحل :
