المحدد (determinant ) هو دالة رياضية تعتمد على بُعد المصفوفة n و يربط بقيمة قياسية (scalar) هي det(A) بكل مصفوفة مربعة (n×n) ، المعنى الهندسي الأساسي للمحدد هو انه بمثابة عامل المقياس للحجم عندما تعد المصفوفة ( A) تحويلا خطيا . والمحددات مهمة جدا في التحليل الرياضي قاعدة الاستبدال و الجبر الخطي المتعدد multilinear algebra. ويرمز عادة لمحدد مصفوفة ما مثل A بالرمز |A|، ولا يمكن حساب المحدد إلا للمصفوفة المربعة ويكون المحدد بحسب ابعاد المصفوفة فإن كانت المصفوفة المربعة ذات بعد n يكون المحدد من المرتبة n، ويعطي المحدد قيمة عددية للمصفوفة المقابلة بالتالي فان محدد المصفوفة المربعة من الدرجة n فان

تعريق محدد المصفوفة

وتمثل مجموع كل حواصل الضرب والمسماة بحدود |A| والتي يمكن تكوينها من عناصر A.

من هنا يمكن التوصل الى تعريف المحدد: هو دالة مجالها مجموعة المصفوفات (المربعة) ومجالها المقابل IR ( أي ان محدد اي مصفوفة هو عدد ) ، ويستخدم لمعرفة هل للمصفوفة معكوس (Inverse) ام لا ويدخل في حساب المعكوس وحل منظومة المعادلات … الخ.

انواع المحددات : Types of Determinates

انواع المحددات

حساب قيمة المحدد : Calculate the value of the determinant:

هنالك عدة طرائق لحساب قيمة المحدد وكما يلي:
1- حساب المحدد من الرتبة الاولى: ويملك نفس قيمة العنصر الوحيد للمصفوفة المقابلة.
2- حساب المحدد من الرتبة الثانية : لمصفوفة ابعادها (2×2) فان حساب المحدد يكون وفق القانون :

المحدد لمصفوفة 2×2

3- حساب المحدد من الرتبة الثالثة : ويحسب وفق الطرائق الاتية :

*طريقة ساروس (الشعاعية ).

*طريقة المحيدد (ااختيار صف او عمود) Minors.

*طريقة العمليات الصفية الاولية .

*طريقة العامل المرافق Cofactor .

اولاً : طريقة ساروس (الشعاعية) :

تتلخص طريقة ساروس بأخذ العمودين الأول والثاني ونضعهما على يمين العمود الثالث ونقوم بمد شعاع على عناصر القطر الرئيسي من اعلى اقصى اليسار الى اسفل اقصى اليمين بعدها نمد شعاع بالاتجاه المعاكس اي من عناصر القطر الثانوي من اسفل اقصى اليسار الى اعلى اقصى اليمين وكما موضح بالشكل ادناه :

طريقة ساروس (الشعاعية) مد الشعاعات

وحساب المحدد يتم وفق الاتي :

حساب قيمة المحدد بطريقة ساروس

مثال (1) : Example

محدد المصفوفة B من الرتبة 3×3 استنادا لطريقة ساروس (الشعاعية) هو :

مصفوفة من الرتبة 3×3

مثال (2) : Example

محدد المصفوفة A من الرتبة 3×3 استنادا لصيغة ساروس هو :

محدد المصفوفة بطريقة ساروس

ثانياً : طريقة المحيدد Minors (ااختيار صف او عمود) .

تلائم هذه الطريقة للمصفوفات من الرتبة 2×2 و3×3 و4×4 ويمكن توضيح طريقة حسابها عن طريق المثال ادناه:

مثال (3) :Example

محدد المصفوفة B من الرتبة 3×3 استنادا لطريقة المحيدد Minors هو اختيار احد الصفوف او الاعمدة في مثالنا قمنا باختيار الصف الاول ثم تثبيت اشارات البدء بالحساب بالاشارة الموجبة وبعدها السالبة وبعدها الموجبة (بالتناوب) كما هو مبين هو :

اختيار الصف الاول وتثبيت الاشارات

اختيار العنصر الاول من الصف الاول الذي تم تثبيت اشارة موجبة وضربة بالمحيدد (يتم تحديد قيمة المحيدد بعد حذف الصف والعمود الذي ينتمي له العنصر الاول داخل المصفوفة ) وبعدها تثبيت الاشارة السالبة واخذ العنصر الثاني للصف الاول وضربة بالمحيدد المتبقي بعد حذف الصف والعمود الذي ينتمي له العنصر الثاني في الصف الاول وهكذا كما مبين ادناه :

ملاحظة :لو اخترنا الصف الثاني او العمود الثالث لكان افضل وذلك لوجود العنصر (0)

مثال (4) : Example

حساب محدد مصفوفة من الرتبة الرابعة 4×4 بطريقة المحيدد (اختيار صف او عمود) للمصفوفة A

مصفوفة من الرتبة 4×4

حساب المحدد بطريقة المحيدد( اختيار صف وعمود ) نختار العمود الثالث لاحتواءه على اكبر عدد من الاصفار

اختيار العمود الثالث وتثبيت الاشارات

ثالثاً: طريقة العمليات الصفية الاولية :

عند تطبيق العمليات الصفية الاولية على المصفوفة لحساب محددها فان:
1-عند تبديل صفين نضرب المحدد في (-1).
2-عند ضرب صف بعدد نقسم المحدد على نفس العدد ، والعكس عند قسمة صف على عدد نضرب المحدد في نفس العدد.
3-عند ضرب صف بعدد وجمعهِ مع صف اخر لا يغير شيء في المحدد.

4-نستعين بالعمليات الصفية الاولية للحصول على مصفوفة مثلثية عليا قيمة المحدد هو حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي.

ملاحظة : اذا كانت المصفوفة تحتوي على صف او اكثر او عمود او اكثر اصفار فان محددها يساوي صفر. واذا تناسب صفان او عمودان فان محدد المصفوفة يساوي صفر ايضاً ، مثال على ذلك:

الصف الاول والصف الثالث متناسبان اي الصف الثالث من مضاعفات الصف الاول

مثال (5) : Example

محدد المصفوفة A من الرتبة 4×4 استنادا لطريقة العمليات الصفية الاولية هي :

مثال (6) : Example

المصفوفة A من الرتبة 4×4 قيمة المحدد استنادا لطريقة العمليات الاولية الصفية كالاتي:

رابعاً : طريقة العامل المرافق Cofactor .

إذا كانت A عبارة عن مصفوفة مربعة ، يتم تعريف العامل المساعد Cofactor لـ A على أنه

سيتم استخدام الترميز Cij بدلا عن αij أحيانًا للإشارة إلى العامل المساعد ijth لـ A.

بعد استخراج العامل المساعد فان قانون المحدد يتم بالاستناد لاحد الصيغ الاتية :

اختيار الصف الاول والعامل المساعد له

اختيار العمود الاول والعامل المساعد له

بالامكان اختيار اي صف او اي عمود يحتوي على اكبر عدد من الاصفار وايجاد العامل المساعد له وضربه بالعناصر الخاصة بذلك الصف او العمود الذي تم اختياره

مثال (7) : Example

المحدد للمصفوفة A من الرتبة 3×3 استنادا لطريقة العامل المرافق هو :

سيتم اختيار الصف الاول والتي عناصره a11=2 ، a12=1، a13=3 اما حساب العامل المساعد هو :

مثال (8) : Example

المحدد للمصفوفة A من الرتبة 4×4 استنادا لطريقة العامل المساعد Cofactor هو :

يتم اختيار العمود الرابع لاحتواءه على اعلى عدد من الاصفار قانون ايجاد المحدد استنادا لاختيارنا العمود الرابع هو :

بما ان العنصر a14=0 ، و a44=0 فاننا نجد العامل المساعد فقط للعناصر a24 ، a34 فقط

**تأكد بنفسك ان C24=18

**تأكد بنفسك ان C34=-2

لتحميل المحاضرة اضغط على زر التحميل ادناه

Similar Posts

اترك تعليقاً