أولاً: المصفوفة المتماثلة والمتماثلة تخالفياً (Symmetric and Reverse Matrix) :


1-المصفوفة المتماثلة (Symmetric Matrix): هي مصفوفة مربعة (عدد الصفوف يساوي عدد الاعمدة) وعندما تساوي مبدلتها (A= At) عندها يقال ان A متماثلة. مثال ذلك

مثال عن المصفوفة المتماثلة

2- المصفوفة المتماثلة (تخالفيا) عكسياً (Reverse Matrix) : هي المصفوفة المربعة التي تحقق الشرط (A= -At) ، عندها يقال ان A متماثلة عكسياً . مثال ذلك:

تمارين : جد الاتي :

ثانياً: العمليات الأولية على المصفوفات Elementary operations on matrices

  1. العمليات الصفية الأولية : هي عمليات تجري على صفوف المصفوفة بهدف اختزالها وتتلخص تلك العمليات بالاتي :
  2. تبديل الصفوف مع بعضها البعض مثلاً :   R1↔R2 (اي استبدال الصف الاول مكان الثاني) او R1↔R3 (اي استبدال الصف الاول بالصف الثالث)
  3. ضرب احد صفوف المصفوفة بعدد غير الصفر : مثل3R3- (ضرب عناصر الصف الثالث بالمقدار (3-) ) او 1/2 R2 (ضرب عناصر الصف الثاني في نصف)
  4. ضرب احد صفوف المصفوفة بعدد غير الصفر وجمع النواتج مع صف اخر : مثلاً

ملاحظة :الصف الذي يتغير المجموع عليه اما المضروب يبقى كما هو ( الضرب ذهنياً ) ثم جمع النواتج مع الصف الاخر .

ملاحظة: يمكن تكرار العمليات السابقة للوصول الى   r.e.f او r.r.e.f

يتم الاستعانة بالعمليات الصفية الاولية للوصول على اختزال المصفوفة وفق الصيغتين الاتية:

1-صيغة الدرجة الصفية Row Echelon Form ( r.e.f) :

نقول ان المصفوفة على صيغة الدرجة الصفية (r.e.f) اذا تحقق :
1- الصفوف الصفرية ان وجدت فإنها تكون صفوف أخيرة .
2- كل صف غير صفري يجب ان يكون اول عنصر فيه 1 (يسمى الواحد المتقدم ) .
3- كل واحد متقدم في أي صف يجب ان يكون على اليمين بالنسبة للواحد المتقدم في الصفوف التي فوقه . وكما موضح ادناه :

مثال لمصفوفة r.e.f

2-صيغة الدرجة الصفية المختزلة reduced row echelon form

نقول ان المصفوفة على الصيغة الدرجة الصفية المختزلة (r.r.e.f)  اذا تحقق الشروط الثلاث اعلاه في (r.e.f)  : إضافة للشروط الثلاثة السابقة في الصيغة الدرجة يجب ان تحقق شرط رابع :

4- كل واحد متقدم يجب ان يكون باقي عناصر عموده اصفار .

مثال للمصفوفة r.r.e.f

ثالثاً: منهجية الاختزال :

لفهم منهجية الاختزال يجب ان تعرف كيف يتم الوصول الى الشكل r.e.f   او r.r.e.f ، وتتلخص بالخطوات الاتية:

  • نجعل العنصر  واحد : تبديله مع صف اخر تحته يكون اول عنصر فيه 1 او بضرب صف تحته بعدد وجمعه مع الصف الأول او بقسمه الصف الأول على العنصر  .
  • نصفر  كل العناصر التي تحت  : نضرب الصف الأول بعكس إشارة  ونجمع النواتج مع الصف الثاني ونضرب الصف الأول في عكس إشارة  ونجمع النواتج مع الصف الثالث وهكذا .
  • نجعل العنصر  واحد بنفس طريقة الخطوة الأولى ودون التعامل مع الصف الأول .
  • نصفر كل العناصر التي تحت  بنفس طريقة الخطوة الثانية . ثم نجعل  واحد ونصفر  ما تحته وهكذا .

*ملاحظة:  عند جعل عنصر ما واحداً a11 او a22   … اذا كان صفر وما تحته اصفار ننتقل الى العنصر الذي على يمينه ونجعله واحد ثم نصفر ما تحته .

*ملاحظة:  اثناء الاختزال اذا وجد صف كله اصفار ننقله ونجعله صف أخير .

بهذا نكون قد وصلنا الى الشكل (r.e.f) ، ولتكملة الاختزال الى الشكل (r.r.e.f) يضاف للخطوات السابقة الخطوة الاتية:
نبدأ من اخر واحد متقدم ونصفر العناصر التي فوقه ثم الواحد المتقدم قبل الأخير ونصفر ما فوقه وهكذا ….

امثلة متنوعة: ضع كلاً من المصفوفات التالية على الصيغة الدرجية الصفية (r.e.f) ، ثم على الصيغة الدرجية الصفية المختزلة (r.r.e.f) ؟

مثال(1):

*ملاحظة:  المصفوفة الناتجة لا تساوي المصفوفة A  وانما تكافئها .

مثال (2):

حل آخر للمثال اعلاه:

ملاحظة : شكل (r.e.f) قد يختلف اذا غيرنا طريقة الاختزال لكن (r.r.e.f) يبقى نفسه مهما تغيرت طريقة الاختزال .

مثال (3):

مثال (4):

\

مثال (5):

تمارين متنوعة

لتحميل المحاضرة اضغط على الزر ادناه

Similar Posts

اترك تعليقاً